對于第一個問題，根據(jù)《勞動合同法》第十條的規(guī)定“建立勞動關(guān)系，應(yīng)當(dāng)訂立書面勞動合同�！眲趧雍贤狡跁r間，即為該勞動合同的終止時間，用人單位繼續(xù)與勞動者保持勞動關(guān)系的，應(yīng)當(dāng)重新簽訂書面勞動合同。
　　對于第二個問題，根據(jù)最高人民法院《關(guān)于審理勞動爭議案件適用法律若干問題的解釋》(法釋[2001]14號)第十六條的規(guī)定以及勞動和社會保障部辦公廳《關(guān)于對事實勞動關(guān)系解除是否應(yīng)該支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金問題的復(fù)函》(勞社廳函[2001]249號)規(guī)定，勞動合同到期后，用人單位未與勞動者簽訂勞動合同，勞動者繼續(xù)工作的，用人單位未提出異議，則用人單位與勞動者之間存在事實勞動關(guān)系，而不等于雙方之前簽訂的書面勞動合同持續(xù)有效，也不等于用人單位與勞動者按照原勞動合同約定的期限續(xù)簽了一個新的勞動合同，而是視為用人單位與勞動者以原勞動合同約定的條件建立了事實勞動關(guān)系。

　　對于第一個問題，根據(jù)《勞動合同法實施條例》第五條的規(guī)定“自用工之日起一個月內(nèi)，經(jīng)用人單位書面通知后，勞動者不與用人單位訂立書面勞動合同的，用人單位應(yīng)當(dāng)書面通知勞動者終止勞動關(guān)系，無需向勞動者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，但是應(yīng)當(dāng)依法向勞動者支付其實際工作時間的勞動報酬�！笨芍�，如果用人單位通知勞動者續(xù)簽勞動合同，而勞動者因自身原因不簽訂勞動合同的，用人單位無需支付二倍工資，終止勞動關(guān)系也無需支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。而在本案中，雖然公司書面通知趙某在一個月內(nèi)續(xù)簽勞動合同而因趙某自身的原因未簽訂，公司在期滿時應(yīng)當(dāng)書面通知趙某終止勞動關(guān)系，但是如果超過一個月后公司未終止勞動關(guān)系，則雙方之間仍然存在事實勞動關(guān)系，公司應(yīng)當(dāng)支付二倍的工資。
　　對于第二個問題，根據(jù)《勞動合同法》第八十二條的規(guī)定“用人單位自用工之日起超過一個月不滿一年未與勞動者訂立書面勞動合同的，應(yīng)當(dāng)向勞動者每月支付二倍的工資�！币约啊秳趧雍贤▽嵤l例》第六條、第七條的規(guī)定，若勞動合同到期后，用人單位與勞動者都未意識到續(xù)簽勞動合同，則雙方之間形成了事實勞動關(guān)系，用人單位應(yīng)當(dāng)按照《勞動合同法》的規(guī)定支付二倍工資。

　　根據(jù)《勞動合同法》第四十四條的規(guī)定“有下列情形之一的，勞動合同終止：(一)勞動合同期滿的；……。”第四十六條的規(guī)定“有下列情形之一的，用人單位應(yīng)當(dāng)向勞動者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償：…(五)除用人單位維持或者提高勞動合同約定條件續(xù)訂勞動合同，勞動者不同意續(xù)訂情形外的，依照本法第四十四條第一項規(guī)定終止固定期限勞動合同的；…�！钡谖迨畻l的規(guī)定“用人單位應(yīng)當(dāng)在解除或者終止勞動合同時出具解除或者終止勞動合同的證明，并在十五日內(nèi)為勞動者辦理檔案和社會保險關(guān)系轉(zhuǎn)系手續(xù)。勞動者應(yīng)當(dāng)按照雙方約定，辦理工作交接。用人單位依照本法規(guī)定應(yīng)當(dāng)向勞動者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償?shù)模谵k理工作交接時支付。用人單位對已經(jīng)解除或者終止的勞動合同的文本，至少保存二年備查。”可知，勞動合同到期，不再續(xù)簽勞動合同，用人單位與勞動者終止勞動合同，解除勞動關(guān)系，須要做到：
　　第一，告知勞動者勞動合同到期，不與其續(xù)簽勞動合同；
　　第二，向勞動者出具終止勞動合同的證明，載明終止日期、工作崗位、在本單位的工作年限；
　　第三，在十五日內(nèi)為勞動者辦理相應(yīng)的檔案、社保關(guān)系轉(zhuǎn)移手續(xù)；
　　第四，向勞動者支付相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。

　　根據(jù)《勞動合同法實施條例》第六條的規(guī)定“用人單位自用工之日起超過一個月不滿一年未與勞動者訂立書面勞動合同，應(yīng)當(dāng)依照勞動合同法第八十二條的規(guī)定向勞動者每月支付兩倍的工資；…前款規(guī)定的用人單位向勞動者每月支付兩倍工資的起算時間為用工之日起滿一個月的次日，截止時間為補(bǔ)訂書面勞動合同的前一日�！惫�，在本案中，公司在原勞動合同到期后，未與趙某續(xù)簽勞動合同，趙某有權(quán)要求公司支付未簽勞動合同的二倍工資，公司應(yīng)當(dāng)支付趙某2014年4月1日至2015年1月期間的二倍工資。

　　對于第一問，根據(jù)《勞動合同法》第三十九條的規(guī)定，勞動者嚴(yán)重失職、營私舞弊，給用人單位造成重大損害的，用人單位可以解除勞動合同，且不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。故對于趙某因為工作出現(xiàn)紕漏被辭退，公司是否需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金，需要判斷趙某出現(xiàn)的紕漏是否屬于嚴(yán)重失職、營私舞弊，是否給公司造成了重大的損害，如果屬于嚴(yán)重失職而造成了公司的重大損害，則公司辭退趙某是不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的，但如果趙某不屬于嚴(yán)重失職且并未給公司造成重大損害，公司辭退趙某，則應(yīng)當(dāng)支付相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。
　　對于第二問，根據(jù)《勞動合同法》第三十九條、第四十六條的規(guī)定，公司在下列情況下辭退勞動者是不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的：
　　(1)勞動者在試用期內(nèi)被證明不符合錄用條件的；
　　(2)勞動者嚴(yán)重違反用人單位的規(guī)章制度的；
　　(3)勞動者嚴(yán)重失職、營私舞弊，給用人單位造成重大損害的；
　　(4)勞動者同時與其他單位建立勞動關(guān)系，對完成本單位的工作任務(wù)造成嚴(yán)重影響，或者經(jīng)用人單位提出，拒不改正的；
　　(5)以欺詐、脅迫的手段或者趁人之危，使對方在違背真實意思的情況下訂立或者變更勞動合同而致使勞動合同無效的；
　　(6)被依法追究刑事責(zé)任的。

　　根據(jù)《勞動合同法》第四十七條的規(guī)定，用人單位向勞動者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的計算方式為：
　　第一，經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償按勞動者在本單位的工作年限，每滿一年支付一個月的工資，六個月以上不滿一年的，按一年計算，不滿六個月的，向勞動者支付按個月的工資；
　　第二，勞動者月工資高于用人單位所在直轄市、設(shè)區(qū)的市級人民政府公布的本地區(qū)上年度職工月平均工資三倍的，向其支付的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的標(biāo)準(zhǔn)按照職工月平均工資的三倍數(shù)額支付，向其支付的年限最高不超過二十年；
　　第三，月工資是指勞動者在勞動合同解除或者終止前十二個月的平均工資，不足十二個月的，按實際月份的平均工資。
　　在本案中，趙某自2011年3月1日至2015年1月在公司工作，其工作年限為五年，故公司應(yīng)當(dāng)向其支付五個月工資的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金，其月工期為2014年1月至2015年1月的平均工資。

　　對于這兩個問題，涉及的方面比較多，針對在實踐中發(fā)生勞動爭議的因素也是比較多的，提出一些主要的建議：
　　根據(jù)《勞動合同法》第十七條的規(guī)定，勞動者在與用人單位簽訂勞動合同時，應(yīng)當(dāng)特別注意以下幾個方面：
　　第一，勞動合同對于合同期限、試用期的約定；
　　第二，勞動合同對工作內(nèi)容、工作崗位、工作地點的約定；
　　第三，勞動合同對工作時間、休息休假的約定；
　　第三，勞動合同對勞動報酬(包括工資、加班費)的約定；
　　第四，勞動合同對勞動合同的終止或者解除條件的約定；
　　第五，勞動合同對培訓(xùn)、保密、補(bǔ)充保險以及福利待遇等事項的約定。
　　根據(jù)實踐中發(fā)生的勞動糾紛案件，公司為了避免與勞動者發(fā)生勞動合同糾紛應(yīng)當(dāng)：
　　第一，與勞動者在平等、協(xié)商一致、自愿的情況下訂立書面勞動合同；
　　第二，勞動合同內(nèi)容的約定要符合勞動法律法規(guī)的規(guī)定并全面履行用人單位的義務(wù)；
　　第三，按照勞動合同的約定和勞法律法規(guī)的規(guī)定及時足額支付勞動報酬，安排加班費，支付相應(yīng)的加班費；
　　第四，按照法律規(guī)定安排勞動者休婚假、產(chǎn)假、帶薪年休假等相應(yīng)的假期；
　　第五，依法足額為勞動者繳納社保；
　　第六，與勞動者解除或者終止勞動關(guān)系要符合勞動法規(guī)的規(guī)定。